Příklady z pravděpodobnosti a statistiky:

Házíme pětkrát symetrickou mincí. Jaká je pravděpodobnost, že právě dvakrát padne líc?Jaká je pravděpodobnost, že alespoň dvakrát padne líc? Jaká je pravděpodobnost, že nejvýše dvakrát padne líc?

Ze 32 karet vybereme 7. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou alespoň dvě karty červené barvy? Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou nejvýše dvě karty červené barvy?

Házíme čtyřmi hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na nich padnou alespoň tři čísla stejná? Jaká je pravděpodobnost, že na nich padnou právě dvě (různé) dvojice stejných čísel? (Například: 3355, 2662 nebo 4141.)

Školník má v kapse n různých klíčů a ví, že právě jedním z nich lze otevřít školu. Zkouší-li postupně jeden klíč po druhém, jaká je pravděpodobnost toho, že odemkne dveře školy na k-tý pokus? (Jak se změní tato pravděpodobnost, bude-li mít školník klíče navlečené na kruhu a bude-li je zkoušet v pořadí na tomto kruhu?)

Jaká je pravděpodobnost toho, že ve skupině n osob mají alespoň dva lidé narozeniny ve stejný den? (Předpokládejme, že rok má 365 dnů.)

Ve společnosti se sešlo n manželských dvojic. V určitý okamžik byly ze všech přítomných vytvořeny náhodně taneční dvojice. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden muž tančí se svou ženou? Jaká je pravděpodobnost, že nikdo netančí se svou ženou?

Ve třídě je dohromady lichý počet žáků, (chlapců a dívek). Vyberu-li náhodně dva z nich, pak pravděpodobnost toho, že vyberu jednoho chlapce a jednu dívku je rovna pravděpodobnosti, že tomu tak nebude. Kolik je ve třídě žáků? (Předpokládáme, že ve třídách bývá ne méně než 10 žáků a ne více než 45 žáků.)

Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi čtyřmi po sobě narozenými dětmi budou a) první dva chlapci a další dvě dívky? b) první dva chlapci? c) právě dva chlapci? d) alespoň dva chlapci?

Hosté, n mužů a n žen se náhodně rozsadili na 2n míst kolem kulatého stolu. Určete pravděpodobnost střídavého rozmístění, tj. rozmístění, při kterém má každý muž po levé i pravé straně ženu. Uvažte navíc, že jistý muž má mezi n přítomnými ženami k přítelkyní. Určete pravděpodobnost toho, že a) tento muž bude mít po levé i pravé straně přítelkyni. b) tento muž bude mít po obou stranách přítelkyně a současně budou ostatní hosté rozmístěni střídavě. c) tento muž bude mít po obou stranách přítelkyně za podmínky že ostatní hosté budou rozmístěni střídavě.

Jaká je pravděpodobnost toho, že náhodně zvolené přirozené číslo 1 až 40 je dělitelné čtyřmi nebo pěti?

(De Mére) Co je pravděpodobnější: Hodit při čtyřech hodech jednou kostkou alespoň jednou šestku (jev A) nebo hodit při 24 hodech dvěma kostkami alespoň jednou šestky na obou kostkách (jev B)?

 Jaká je pravděpodobnost toho, že při hodu dvěma kostkami a) bude součet ok roven číslu n ? b) bude součet ok roven lichému číslu? c) padnou navzájem různá čísla?

Jaká je pravděpodobnost toho, že při hodu čtyřmi kostkami padnou navzájem různá čísla?

Jaká je pravděpodobnost toho, že při náhodném řazení písmen A, A, A, D, K, M, R složíme slovo KAMARAD?

V zahradnictví jsme koupili 10 cibulek červených tulipánů a 5 cibulek černých tulipánů. Zasadili jsme 8 náhodně vybraných cibulek.

Jaká je pravděpodobnost, že alespoň dvě budou cibulky černých tulipánů? Jana si myslí tři z čísel 1, 2,...,10. Pavel má jeden pokus na to, aby jedno z těchto čísel uhádl. Jaká je pravděpodobnost, že se mu to podaří?

Jana si myslí jedno z čísel 1,2,...,10. Pavel má tři pokusy, aby toto číslo uhádl. Jaká je pravděpodobnost toho, že a) se mu to podaří až při třetím pokusu? b) se mu to podaří dříve než při třetím pokusu? c) se mu to nepodaří vůbec?

Jana si myslí jedno z čísel 1,2,...,10. Pavel má vždy jeden pokus na to, aby toto číslo uhádl. Tuto hru opakují třikrát. Jaká je pravděpodobnost toho, že a) se mu to podaří až při třetím pokusu? b) se mu to podaří dříve než při třetím pokusu? c) se mu to nepodaří vůbec?

Vybereme 3 ze 32 karet. Určete pravděpodobnost toho, že a) všechny 3 karty jsou stejné barvy. b) právě 2 karty jsou stejné barvy. c) alespoň 2 karty jsou stejné barvy.

Vybereme 4 ze 32 karet. Určete pravděpodobnost toho, že alespoň 2 karty jsou stejné barvy. Při automatické výrobě bylo vyrobeno 1 000 výrobků a z toho 10 zmetků. Provádíme kontrolu tak, že vybereme 50 výrobků a přesvědčíme se o jejich kvalitě. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou alespoň dva zmetky?

Mějme čtyři lístky s čísly 1, 2, 3, 4 a obdobně očíslované obálky. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném rozdělení lístků do obálek budou a) právě ve dvou obálkách lístky se stejnými čísly jako je číslo obálky? b) ve všech obálkách lístky s čísly různými od čísla obálky?

Mějme 12 klíčů, mezi nimiž jsou 4 správné. Vybereme náhodně čtyři klíče. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude a) právě jeden správný klíč? b) alespoň jeden správný klíč? c) nejvýše jeden správný klíč?

Jaká je pravděpodobnost , že v náhodně vybraných osmi mariášových kartách budou a) právě dvě karty červené a právě tři zelené? b) právě dvě karty červené nebo právě tři zelené?

Určete pravděpodobnost toho, že při hodu osmi kostkami a) nepadne žádná šestka? b) padne právě jedna pětka? c) padne víc trojek než jedna? d) padne alespoň jedna šestka?

U jistého druhu vysavačů se s pravděpodobností 0,1 vyskytovala konstrukční vada. U výrobků s touto vadou dochází během záruční doby k poruše s pravděpodobností 0,5. Výrobky, které tuto vadu nemají, vykazují během stejné doby poruchu jen s pravděpodobností 0,01. Vypočítejte pravděpodobnost toho, že a) u náhodně vybraného výrobku nastane v záruční době porucha. b) že výrobek, u kterého dojde v záruční době k poruše, bude mít uvažovanou konstrukční vadu?

Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami (červenou a zelenou) bude součet ok liché číslo za podmínky, že a) padnou různá čísla. b) padnou stejná čísla. c) na červené kostce padne číslo sudé. d) na zelené kostce padne číslo větší než 3. e) na červené kostce padne číslo sudé a zároveň na zelené kostce padne číslo větší než 3.

V dílně pracují tři stroje a na celkové produkci se podílejí pětadvaceti, pětatřiceti a čtyřiceti procenty. Z výrobků vyrobených na prvním stroji jsou 4 % zmetků, z výrobků na druhém 3 % a z výrobků na třetím 2 % zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že výrobek byl vyroben na prvním (resp. druhém a třetím) stroji, jestliže je to zmetek?

Manželka očekává příchod svého muže ze zaměstnání a zvažuje možné příčiny jeho zpoždění. Z dlouhodobé zkušenosti zjistila, že s pravděpodobností 50 % musel v zaměstnání setrvat déle z pracovních důvodů, s pravděpodobností 40 % se nechal zlákat kolegy k posezení a přátelskému rokování v některém z pohostinství po cestě domů, jiný důvod zdržení předpokládá jen s pravděpodobností 10 %. Protože zakoupila vstupenky na večerní divadelní představení, uvažuje dále, jestli se manžel vrátí do 18. hodiny. Opět ze zkušenosti odhaduje pravděpodobnost jeho včasného návratu v případě pracovního zaneprázdnění na 80 %, v případě rokování s kolegy pouze na 10 % a v jiném případě na 50 %. Jaká je pravděpodobnost toho, že se manžel vrátí včas (tzn. do 18. hodiny)? Vrátí-li se včas, jaká je pravděpodobnost toho, že rokoval s kolegy?

Rozdělíme balíček 32 karet na dvě poloviny. Zaveďte náhodnou veličinu určující kolik es bude v levé hromádce karet.

Jana si myslí jedno z čísel 1, 2, ..., 10. Pavel má tři pokusy, aby toto číslo uhádl. Zaveďte náhodnou veličinu určující na kolikátý pokus se mu to podaří.

V krabici je 100 žárovek, mezi nimiž je 5 vadných. Z krabice náhodně vybereme 10 žárovek. Zaveďte náhodnou veličinu určující, kolik je z vybraných deseti žárovek vadných.

Házíme pětkrát symetrickou mincí. Zaveďte náhodnou veličinu určující a) kolikrát celkem padne líc. b) ve kterém hodu poprvé padne líc.

Ze 32 karet vybereme 7. Zaveďte náhodnou veličinu určující, kolik mezi nimi bude králů.

Na tramvajové zastávce stojí 7 cestujících. Když přijede tramvaj, každý cestující nastoupí jedněmi ze tří dveří vozu. Zaveďte náhodnou veličinu určující, kolik cestujících nastoupilo do prvních dveří.

 

Test se skládá z pěti otázek. Na každou otázku jsou nabízeny tři odpovědi a), b), c), z nichž právě jedna je správná. Zaveďte náhodnou veličinu určující, na kolik otázek odpoví správně zcela neznalý student.

Házíme hrací kostkou. Zaveďte náhodnou veličinu určující, ve kterém hodu poprvé padne šestka.

V krabici je 6 černých koulí a 4 bílé. Náhodně vybereme jednu kouli, zjistíme barvu a vrátíme zpět do krabice. Tento výběr provedeme třikrát. Zaveďte náhodnou veličinu určující, kolik mezi vybranými koulemi bude černých?

V krabici je 6 černých koulí a 4 bílé. Náhodně vybereme tři koule. Zaveďte náhodnou veličinu určující, kolik mezi vybranými koulemi bude černých?

V krabici je 6 černých koulí a 4 bílé. Náhodně vybereme tři koule. Zaveďte náhodnou veličinu určující, ve kterém tahu poprvé vyberu černou kouli?

Kolika kostkami musíme současně hodit, aby pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka byla větší než 0,95?

Jaká je pravděpodobnost, že při hodu deseti mincemi padne právě šestkrát líc?

Kolem hotelu projíždějí volná auta taxi-služby průměrně čtyřikrát za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že host, který vyšel z hotelu, bude čekat na první volný taxík alespoň 10 minut?

Při střelbě z luku je pravděpodobnost zásahu do terče u začátečníka 0,6. Zaveďte náhodnou veličinu určující počet úspěchů začátečníka při pěti pokusech.

V krabici je 12 lístečků. Jeden s čísly 0,1, čtyři 1,0, dva 1,1 a pět 0,0 . Náhodně vybereme jeden z nich. Uvažujeme následující náhodné jevy: A=[na prvním místě vylosovaného lístečku je jednička], B=[na prvním místě vylosovaného lístečku je nula], C=[na druhém místě vylosovaného lístečku je jednička] a D=[na druhém místě vylosovaného lístečku je nula]. Které skupiny jevů jsou nezávislé?

V osudí jsou čtyři lístky. Každý je označen jedním z přirozených čísel 1 až 100. Náhodně vylosujeme jeden lístek. Uvažujme jevy A=[číslo na vylosovaném lístku je dělitelné dvěma], B=[číslo na vylosovaném lístku je dělitelné třemi] a C=[číslo na vylosovaném lístku je dělitelné pěti]. Platí P(A)=P(B)=P(C)=0,5, P(A ∩ B ∩ C)=0,25, a jevy A, B, C jsou po dvou nezávislé. Nalezněte čtveřici takových čísel.

V krabici je 9 lístečků s trojicí písmen A,B,C: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, AAA, BBB, CCC. Náhodně vybereme jeden z nich.Uvažujeme následující náhodné jevy: Ak =[na k-tém místě vylosovaného lístečku je A], k=1, 2, 3. Jsou tyto jevy nezávislé?

Házíme dvěma hracími kostkami. Uvažujeme následující náhodné jevy: A=[na obou kostkách padne stejné číslo], B=[součet čísel na obou kostkách je menší než sedm a zároveň větší než tři], C=[padne alespoň jedna šestka]. Které skupiny jevů jsou nezávislé?

Do prodejny přichází průměrně 240 zákazníků za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že jich v minutě, kdy jedna prodavačka odběhla pryč, přijde více než deset?

Žárovka má průměrnou životnost 800 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že vydrží svítit méně než 100 hodin?

Během hodiny přijde na meziměstskou ústřednu průměrně 60 žádostí o spojení. Jaká je pravděpodobnost, že během půl minuty, kdy se obsluha vzdálila, nikdo nevolal?

Na poště mají být instalovány automaty na prodej známek, které po vhození mince vydají během 10 vteřin žádanou známku. Předpokládejme, že v době největší frekvence bude zájem průměrně o 6 známek za minutu. Kolik automatů by měli nejméně instalovat, aby s pravděpodobností větší než 0,95 byl i v době největší frekvence obsloužen každý zájemce okamžitě?Přes železniční přejezd projíždí průměrně 15 aut za hodinu.

Jaká je pravděpodobnost, že se za 5 minut uzavření přejezdu nashromáždí před závorami více než 5 automobilů?

 

V mléčné dráze vzplane supernova přibližně jedenkrát za 200 let (1006, 1054, 1572, 1604, ). Jaká je pravděpodobnost, že člověk žijící 80 let má možnost za svůj život vidět tento jev alespoň jednou?

Do čekárny ordinace přijde v průměru 6 pacientů za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že za pět minut, kdy se lékař vzdálil z ordinace, nepřijde žádný pacient?

Sekretářka telefonuje na úřad v době velkého zatížení, kdy pravděpodobnost, že bude obsazeno se rovná 0,75. Jaká je pravděpodobnost toho, že dostane spojení nejpozději při pátém pokusu?

Podnik dodává výrobky po 10 kusech a neprovádí kontrolu jakosti. Předpokládá, že každý balíček, v němž je aspoň jeden výrobek vadný, bude reklamován a zaručilo se, že při reklamaci vrátí peníze za celý balíček. Náklady na výrobu jednoho balíčku jsou 20 Kč a pravděpodobnost vyrobení jednotlivého kvalitního výrobku je 0,95. Jakou cenu by mělo družstvo stanovit, aby mohlo očekávat zisk 25% ?

Automobil projíždí na své trase přes čtyři semafory. Na každém z nich s pravděpodobností 0,6 svítí zelená a s pravděpodobností 0,4 svítí červená (či oranžová). Semafory nejsou nijak synchronizovány , nezávisí na sobě.

Zaveďte náhodnou veličinu určující a) na kolikátém semaforu bude muset řidič poprvé zastavit. b) na kolika semaforech celkem musel řidič zastavit.

V prodejně se smíšeným zbožím si vysavač koupí průměrně 5 lidí za měsíc. Jaká je pravděpodobnost, že se v prvním čtvrtletí prodá více než 20 vysavačů?

Šestnáct laborantů zjišťovalo teplotu varu alkoholu (za normálních podmínek) ve stupních Celsia: 79,5 78,4 78,3 78,4 78,7 78,2 78,5 78,4 78,1 78,0 78,6 77,7 78,8 78,3 78,4 78,1. Určete konfidenční interval.

Termostat je nastaven na 15 stupňů Celsia. Bylo provedeno 9 kontrolních měření a zjištěny následující hodnoty: 14,4 14,2 14,4 14,6 15,5 14,0 15,3 14,3 14,7. Je třeba provést opravu nastavení termostatu?

V jedenácti obchodech byla zjišťována cena určitého výrobku a průměrný počet prodaných kusů za den, cena 12,40 12,20 12,30 12,70 12,50 12,90 12,40 12,50 12,70 12,50 12,40 ks 14 20 21 29 25 23 21 18 22 21 17. Závisí denní obrat výrobku na jeho ceně?

Zkoumaný vzorek vážíme na deseti vahách a dostali jsme hodnoty: 4,96 5,11 5,05 5,13 5,04 5,15 5,05 Určete konfidenční interval.

Ve skupině žáků byla zjištěna známka na vysvědčení z matematiky a českého jazyka: matematika 4 2 1 4 1 3 5 4 2 3 4, český jazyk 3 1 3 2 3 3 4 4 3 4 3. a) Jsou žáci v některém z těchto dvou předmětů lepší? b) Souvisí spolu známky z matematiky a z českého jazyka?

V jednom hostinci byla provedena kontrola správné míry u devíti půllitrů piva. Byly zjištěny tyto rozdíly (v mm) od správné hladiny: -6 -8 -6 -4 5 -10 3 -7 -3. Točí hostinský správné míry?

Bylo třeba zjistit, zdali na jižní straně svahu rostou lesní stromky rychleji než na severní (při zachování stejných či podobných ostatních podmínek). Bylo proto vybráno 16 stejně starých stromků, 8 na severní a 8 na jižní straně, a po určité době zjištěny přírůstky délky (v cm): severní strana 17 21 6 15 23 7 26 5, jižní strana 25 20 32 10 23 22 16 28 . Rostou na obou svazích stromky stejně rychle?

Byl proveden výzkum, zdali souvisí krevní skupina a pohlaví jedinců. U 100 náhodně vybraných občanů byly zjištěny oba údaje muži 15 skupina 0, 11 skupina A, 24 skupina B, 10 skupina AB, ženy 5 skupina 0, 9 skupina A, 16 skupina B, 10 skupina AB Můžeme nezávislost těchto znaků zamítnout?

Na severojižní železniční trati byl po určitém čase na deseti místech měřen úbytek výšky kolejí (v mm). levá 2,5 2,4 2,2 2,5 2,3 2,1 2,5 2,2 2,4 2,1, pravá 2,4 2,6 2,2 2,9 2,1 2,6 2,5 2,5 3,0 2,4 . Sjíždějí se obě koleje stejně rychle?